viernes, 24 de octubre de 2008
martes, 21 de octubre de 2008
Trigonometría
Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘medida de triángulos’.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana y la trigonometría esférica.
Trigonometría plana
Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas.
Razones trigonométricas de ángulos agudos
La base de la trigonometría está en las razones trigonométricas, valores numéricos asociados a cada ángulo, que permiten relacionar operativamente los ángulos y lados de los triángulos. Las más importantes son seno, coseno y tangente, que se definen a continuación.
En un ángulo a de un triángulo rectángulo, ABC, se llama seno de a, y se escribe sen a, al cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
Análogamente se definen el coseno (cos) como cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa, y la tangente (tg) como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Hace no muchos años existían tablas numéricas en las que se daban los valores de las razones trigonométricas de una gran cantidad de ángulos. En la actualidad, con una calculadora científica se obtienen con toda precisión los valores de las razones trigonométricas de cualquier ángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo cumplen las siguientes propiedades:
Aunque el ángulo a pertenezca a otro triángulo rectángulo de lados distintos al anterior, los valores obtenidos para sen a, cos a y tg a son los mismos. Es decir, las razones trigonométricas de un ángulo no dependen del triángulo sobre el que se midan. Esto es debido a que dos triángulos rectángulos con un mismo ángulo agudo son semejantes y, por tanto, los cocientes, a/c, b/c, a/b coinciden en ambos.
Las razones trigonométricas sen y cos de un mismo ángulo guardan la siguiente relación fundamental:
(sen a)2 + (cos a)2 = 1
En vez de (sen a)2 se acostumbra a escribir sen2 a, y lo mismo con las demás razones trigonométricas. Por eso, la igualdad anterior se suele expresar así:
sen2 a + cos2 a = 1
Las razones sen a, cos a y tg a se relacionan entre sí del siguiente modo:
Razones trigonométricas de ángulos cualesquiera
Para definir las razones trigonométricas de ángulos cualesquiera (de 0º a 360º) se empieza situando el ángulo en la llamada circunferencia goniométrica, una circunferencia de radio 1 con su centro, O, situado sobre unos ejes coordenados:
El vértice del ángulo se sitúa en O y el primero de sus lados, a, sobre la parte positiva del eje de las X. El segundo lado, b, se abre girando en sentido contrario a las agujas del reloj. Este segundo lado corta a la circunferencia goniométrica en un punto, P, cuyas coordenadas son c = cos a y s = sen a. Es decir, P(cos a, sen a). La tg a= t se sitúa sobre la recta r, tangente a la circunferencia en U, y queda determinada por el punto T en que el lado b, o su prolongación, corta a r.Según esta definición, las razones trigonométricas sen, cos y tg toman valores positivos o negativos según el cuadrante en el que se encuentre el ángulo a. En la figura siguiente se resumen los signos de las tres razones:
Los ángulos 90º y 270º no tienen tangente, pues para ellos el segundo lado no corta a la recta r.Las razones trigonométricas de ángulos no agudos cumplen las mismas relaciones que las de los ángulos agudos:
sen2 a + cos2 a = 1
¿ Que es la trigonometria ?
La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
La trigonometría (del griego, la medición de los triángulos) es una rama de las matemáticas que estudia los ángulos y los lados de un Triángulo cualquiera y las relaciones entre ellos.
Posee muchas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
En la medida de ángulos, y por tanto en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en la vida cotidiana es el Grado sexagesimal, en matemáticas es el Radián la más utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el Grado centesimal se desarrolló como la unidad más próximo al sistema decimal, pero su uso prácticamente es inexistente.
Radián: unidad angular natural en trigonometría, será la que aquí utilicemos, en una circunferencia completa hay 2π radianes.Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360º.Grado centesimal: unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
¿Para que sirve la trigonometria ?
La TRIGONOMETRÍA se emplea en agrimensura o simplemente mensura, en proyecto y trazado de vías de comunicación, obras terrestres e hidráulicas, en el desarrollo de caminos y labores mineras, etc. etc.¡¡¡ como será que es de utilidad que todas las calculadoras científicas cuentan con las funciones trigonométricas!!!
La trigonometria es muy eficiente ya que ademas de agilizar la mente como todos losproblemas matematicos ademas permite calcular alturas de edificios por ejemplo sin hacer un mayor trabajo, o distancias de un punto a otro.
Sin trigonometríano habría topografía.Ciencia que determina dimensiones de superficies terrestres.Y ése es sólo un ejemplo, porque también sirve para otras medidas.Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Muchas veces hacemos uso de conceptos ,términos ,teoremas trigonométricos y no nos damos cuenta , esto se debe a que los utilizamos de manera aplicada ,práctica intuitiva o por una mayor comodidad ,lógicamente que los que estudian ingeniería civil o arquitectura lo ven de manera más cientifica pero los griegos y los egipcios supieron encontrar la utilidad en la agrimensura, la agricultura o sea lo aplicaron a la realidad de su vida cotidiana si investigaras sobre el origen y utilidad de la trigonometria te darias cuenta de la importancia que tiene para nosotros el que las civilizaciones antiguas le dieran importancia a lo que hoy conocemos por trigonometria , quizás en pocas palabras te podría decir para que sirve en la vida práctica pero es mucho mejor que después de investigar sobre lo que te dije saqués tus propias conclusiones.
La TRIGONOMETRÍA se emplea en agrimensura o simplemente mensura, en proyecto y trazado de vías de comunicación, obras terrestres e hidráulicas, en el desarrollo de caminos y labores mineras, etc. etc.¡¡¡ como será que es de utilidad que todas las calculadoras científicas cuentan con las funciones trigonométricas!!!
La trigonometria es muy eficiente ya que ademas de agilizar la mente como todos losproblemas matematicos ademas permite calcular alturas de edificios por ejemplo sin hacer un mayor trabajo, o distancias de un punto a otro.
Sin trigonometríano habría topografía.Ciencia que determina dimensiones de superficies terrestres.Y ése es sólo un ejemplo, porque también sirve para otras medidas.Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de navegación por satélites.
Muchas veces hacemos uso de conceptos ,términos ,teoremas trigonométricos y no nos damos cuenta , esto se debe a que los utilizamos de manera aplicada ,práctica intuitiva o por una mayor comodidad ,lógicamente que los que estudian ingeniería civil o arquitectura lo ven de manera más cientifica pero los griegos y los egipcios supieron encontrar la utilidad en la agrimensura, la agricultura o sea lo aplicaron a la realidad de su vida cotidiana si investigaras sobre el origen y utilidad de la trigonometria te darias cuenta de la importancia que tiene para nosotros el que las civilizaciones antiguas le dieran importancia a lo que hoy conocemos por trigonometria , quizás en pocas palabras te podría decir para que sirve en la vida práctica pero es mucho mejor que después de investigar sobre lo que te dije saqués tus propias conclusiones.
TRIGONOMETRIA
Tangente de cualquier ángulo
Funcion seno
Tangente de un ángulo agudo Seno de un ángulo agudo Coseno de un ángulo agudo Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Tangente de cualquier ángulo
Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos:Ángulos opuestosÁngulos suplementariosÁngulos que difieren en 180ºÁngulos complementariosÁngulos que difieren en 90º
Función coseno
lunes, 20 de octubre de 2008
PERSONAJES QUE TRABAJARON Y DESARROLLARON LA TRIGONOMETRÍA
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas.
Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe:
El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos.
El segundo es puramente astronómico.
El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera.
Regiomontanus
Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna. Se le debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Sus contribuciones a la trigonometría esférica fueron recogidas en dos memorias fundamentales.
En la primera (1753) Euler partió del hecho de que, sobre la esfera, las geodésicas son los círculos máximos y utilizó en consecuencia la teoría de los extremos. Encontró así las diez relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico. Luego extendió estas relaciones a los triángulos cualesquiera y hábilmente dedujo el modo de uso en la resolución de triángulos.
Posteriormente, en 1779, le pareció delicado establecer un capítulo de las matemáticas elementales basado en consideraciones transcendentes. Debido a ello, realizó un trabajo que fue el primero que, de 3 relaciones fundamentales obtenidas de la figura, dedujo todo el aparato de las fórmulas que hoy día se encuentra en los tratados de trigonometría.
La contribución fundamental de Euler es su estudio de las funciones circulares. Tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” ya no dadas mediante consideraciones geométricas, sino por sus desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Estas funciones forman con las funciones exponenciales y sus inversas las funciones logarítmicas, nuestras funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia cuyas geniales intuiciones en este campo nunca se desmentirán. Desde entonces, el estudio de las funciones trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.
Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cirene en el año 284 antes de Jesucristo, y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes también midió la inclinación del eje terrestre con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió suicidarse muriendo de hambre.
Hiparco de Nicea
Hiparco de Nicea fue un astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia. Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la sucesión de los equinoccios. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.
Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas.
Por último Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.
Menelao
Menelao fue astrónomo y matemático griego, de la segunda mitad del s. I d. C. Escribió una obra, que no ha podido ser encontrada, sobre el cálculo de las cuerdas en el círculo , así como un tratado en tres libros, las Esféricas que nos ha llegado por traducción árabe:
El primer libro de esta obra funda la geometría esférica dando un papel privilegiado a los círculos máximos.
El segundo es puramente astronómico.
El tercero crea la trigonometría esférica, basado sobre los dos teoremas llamados de Menelao, uno relativo al plano y el otro a la esfera.
Regiomontanus
Regiomontanus fue astrónomo y matemático alemán. Su obra principal De triangulus onmimodis, fue escrito hacia 1464, pero fue publicado, mucho después de su muerte, en Nuremberg, en 1533. Si bien este libro debe mucho a la tradición greco-árabe es una obra de profunda originalidad y con ella funda la trigonometría occidental.
Tolomeo
Tolomeo fue astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.
Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría.
Euler.
Leonhard Euler, fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar.
Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1771, cuando estalló un gran fuego en la ciudad, llegando hasta la casa de Euler, un compatriota de Basilea, Peter Grimm, se arrojó a las llamas, descubrió a Euler, y lo salvó llevándolo sobre sus hombros. Si bien se perdieron los libros y el mobiliario, se salvaron sus preciosos escritos.
Euler continuó su profuso trabajo durante doce años, hasta el día de su muerte, a los setenta y seis años de edad.
Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna. Se le debe el actual uso de las minúsculas latinas a, b, c, para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Sus contribuciones a la trigonometría esférica fueron recogidas en dos memorias fundamentales.
En la primera (1753) Euler partió del hecho de que, sobre la esfera, las geodésicas son los círculos máximos y utilizó en consecuencia la teoría de los extremos. Encontró así las diez relaciones existentes entre los elementos de un triángulo esférico. Luego extendió estas relaciones a los triángulos cualesquiera y hábilmente dedujo el modo de uso en la resolución de triángulos.
Posteriormente, en 1779, le pareció delicado establecer un capítulo de las matemáticas elementales basado en consideraciones transcendentes. Debido a ello, realizó un trabajo que fue el primero que, de 3 relaciones fundamentales obtenidas de la figura, dedujo todo el aparato de las fórmulas que hoy día se encuentra en los tratados de trigonometría.
La contribución fundamental de Euler es su estudio de las funciones circulares. Tomando el radio como unidad, estas funciones son las antiguas “líneas trigonométricas” ya no dadas mediante consideraciones geométricas, sino por sus desarrollos en series enteras o en productos infinitos. Estas funciones forman con las funciones exponenciales y sus inversas las funciones logarítmicas, nuestras funciones transcendentes elementales. La analogía entre funciones circulares y funciones exponenciales fueron puestas de manifiesto por Euler con una audacia cuyas geniales intuiciones en este campo nunca se desmentirán. Desde entonces, el estudio de las funciones trigonométricas se fundamentan en el estudio general de las funciones.
Eratóstenes
Eratóstenes nació en Cirene en el año 284 antes de Jesucristo, y murió en Alejandría a los 92 años, fue el primer científico de la historia de la Humanidad en medir con bastante precisión, la circunferencia de nuestro planeta.
Eratóstenes también midió la inclinación del eje terrestre con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general.
Eratóstenes quedó ciego en su vejez y decidió suicidarse muriendo de hambre.
La trigonometría en los tiempos modernos
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x.
Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.
También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos
Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.
La trigonometría en Occidente
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo
El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.
Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos.
Posteriormente Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo
La trigonometría desarrollada por indios y árabes
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al - Wafa al - Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en nuestro seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín.
A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.
Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica
Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.
Posteriormente se encontró un magnifico ejemplo de empleo de las tablas en las dos trigonometrías por los árabes orientales en el “Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao. La resolución de los triángulos planos es expuesta al principio de la obra, de la que compone el libro V, “La proporcionalidad de los senos de los lados a los de los ángulos opuestos” de Abu al - Wafa al - Buzadjami. Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.
Historia de la trigonometría
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a. C. el astrónomo Hiparco de Nicea realizó una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.
El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo. “Si un triángulo ABC, plano o esférico, es cortado por medio de una recta o de un circulo máximo en L, M, N se tiene: en el plano
L = NA . MC
A NC MB
En la esfera:
Sen LA = sen NA , sen MC
Sen LB sen NC sen MB
Por otra parte, Menelao escribió sus libros sobre las cuerdas de la circunferencia. Este trabajo puede ser que tuviera modelos que se remontaba a Hiparco, astrónomo del s. II a de C. Si bien la terminología griega se resiente de esta tradición, la atención de las matemáticas fue atraida como muy tarde desde Menelao hacia “La semicuerda del arco doble” nuestro seno, que desde entonces tiene un papael fundamental.
El movimiento de la trigonometría griega mejor conservado es el conjunto formado por los capítulos IX y XI del primero libro de la Sintaxis Matemática o Almagesto de Claudio Ptolomeo.
La trigonometría :
es una rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos.
La trigonometría se subdivide en:
-Trigonometría plana: si el triángulo es plano.
-Trigonometría esférica: si el triangulo está formado por círculos máximos de una esfera.
-Trigonometría plana: si el triángulo es plano.
-Trigonometría esférica: si el triangulo está formado por círculos máximos de una esfera.
Pero además el termino significa el estudio de las “relaciones trigonométricas” o “funciones trigonométricas”, seno, coseno, tangente y cotangente de un arco o un ángulo. También se les llama funciones circulares.
Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.
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